Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 30 & 50 & 65 \\ 40 & 50 & 40 \\ 50 & 50 & 15 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

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Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 50 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$30 | \begin{array}{c} 50 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$30 | \begin{array}{c} 50 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 50 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$ .

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$30 (50 \cdot 15 - 50 \cdot 40) - 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $50$ par $15$ .

$30 (750 - 50 \cdot 40) - 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- 50$ par $40$ .

$30 (750 - 2000) - 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $2000$ de $750$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 | \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} | + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 40 & 40 \\ 50 & 15 \end{array} |$ .

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Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 (40 \cdot 15 - 50 \cdot 40) + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $40$ par $15$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 (600 - 50 \cdot 40) + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- 50$ par $40$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 (600 - 2000) + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $2000$ de $600$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 \cdot - 1400 + 65 | \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 40 & 50 \\ 50 & 50 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 \cdot - 1400 + 65 (40 \cdot 50 - 50 \cdot 50)$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $40$ par $50$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 \cdot - 1400 + 65 (2000 - 50 \cdot 50)$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 50$ par $50$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 \cdot - 1400 + 65 (2000 - 2500)$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $2500$ de $2000$ .

$30 \cdot - 1250 - 50 \cdot - 1400 + 65 \cdot - 500$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $30$ par $- 1250$ .

$- 37500 - 50 \cdot - 1400 + 65 \cdot - 500$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 50$ par $- 1400$ .

$- 37500 + 70000 + 65 \cdot - 500$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $65$ par $- 500$ .

$- 37500 + 70000 - 32500$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 37500$ et $70000$ .

$32500 - 32500$

Étape 1.5.3

Soustrayez $32500$ de $32500$ .

$0$

Étape 2

There is no inverse because the determinant is $0$ .